1. 認識因數與倍數

1. 認識因數與倍數
   
2. 因數樹與倍數表
3. 因數與倍數的應用

認識因數與倍數

在數學世界裡，因數和倍數扮演著重要的角色。因數指的是能整除其他數字的數字，而倍數則是能被其他數字整除的數字。舉例來說，6 是 12 的因數，因為 12 除以 6 等於 2，沒有餘數；而 15 是 3 的倍數，因為 15 除以 3 等於 5，沒有餘數。

因數樹與倍數表

因數樹和倍數表是幫助我們了解因數和倍數的工具。

因數樹

インシュジュ

因數樹是用來找出一個數字的所有因數。繪製因數樹時，我們將數字寫在樹根，然後將它的所有因數寫在樹枝上。一個因數的因數再寫在同一條樹枝上，如此重複進行，直到無法再找到新的因數為止。

例如，以下為 12 的因數樹：

12
/
6 2
/ \ /
3 2 1 1

從因數樹中，我們可以看出 12 的因數有 1、2、3、4、6 和 12。

倍數表

倍數表是用來找出一個數字的所有倍數。製作倍數表時，我們將數字寫在第一行，然後依序將該數字乘上 2、3、4、5 等自然數，並將結果寫在每一行的第一個欄位。

例如，以下為 5 的倍數表：

5 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10| 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
15| 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
20| 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

從倍數表中，我們可以看出 5 的倍數有 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50 等。

因數與倍數的應用

因數和倍數在我們的日常生活中扮演著重要的角色。以下是它們的一些應用：

• 尋找共同因數和共同倍數：共同因數是指能同時整除兩個或多個數字的數字；共同倍數是指能同時被兩個或多個數字整除的數字。找到共同因數和共同倍數有助於我們簡化分數和約分。
• 分解質因數：分解質因數是指將一個數字表示成它的質因數（不能再被整除的數字）的乘積。分解質因數有助於我們了解數字的組成和進行數論計算。
• 求最大公因數（GCD）和最小公倍數（LCM）：最大公因數是指兩個或多個數字中最大的共同因數；最小公倍數是指兩個或多個數字中最小的共同倍數。求 GCD 和 LCM 有助於我們進行分數運算和解聯立方程式。

整理好的比較表格

以下為因數和倍數的比較表格：

特徵	因數	倍數
定義	能整除其他數字的數字	能被其他數字整除的數字
工具	因數樹	倍數表
應用	尋找共同因數和共同倍數、分解質因數	求最大公因數和最小公倍數

外部推薦連結

• 國立教育研究院：因數與倍數：https://www.naer.edu.tw/course/content.aspx?course_id=152&unit_id=3938&page=1
• Khan Academy：因數與倍數：https://www.khanacademy.org/math/arithmetic/factors-multiples-and-fractions/factors-multiples/v/factors-and-multiples-intro

常見問題

Q：一個數字有多少個因數？

A：一個數字的因數數量由它本質的質因數決定。例如，12 的質因數為 2² × 3，因此它有 (2 + 1) × (1 + 1) = 6 個因數。

Q：一個數字有多少個倍數？

A：一個數字的倍數數量是無限的。例如，5 的倍數有 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50 等。

Q：如何找出一個數字的所有因數？

A：可以透過以下步驟找出一個數字的所有因數：

1. 找出數字的質因數。
2. 將質因數列出，並分別計算它們的冪次。
3. 將所有可能的質因數組合相乘，就可以得到所有因數。

Q：如何求兩個數字的最大公因數？

A：求兩個數字的最大公因數可以透過以下步驟：

1. 分解兩個數字為質因數。
2. 取出兩組質因數中共同出現的質因數，並取它們的最小冪次作為 GCD。

Q：如何求兩個數字的最小公倍數？

A：求兩個數字的最小公倍數可以透過以下步驟：

1. 分解兩個數字為質因數。
2. 取出兩組質因數中所有出現的質因數，並取它們的最大冪次作為 LCM。

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