高中數學講義
前言
高中數學是一門重要的基礎科目，它不僅為學生日後的升學奠定基礎，更能培養學生邏輯思考、問題解決及空間概念等能力。本講義旨在提供高中生一個系統性且易於理解的數學學習資源，幫助學生掌握各個單元的核心概念與解題技巧。
目錄
- 一元一次方程式
- 一元二次方程式
- 指數與對數
- 三角函數
- 統計與機率
一元一次方程式
定義
一元一次方程式是指只含有一個未知數的線性方程式，其形式為：ax + b = 0，其中 a ≠ 0。
解法
解一元一次方程式，需要將未知數 x 移到方程式的同側，並化簡成 x = c 的形式。
範例
解方程式：3x - 5 = 10
解法：
3x = 10 + 5
3x = 15
x = 15 / 3
x = 5
一元二次方程式
定義
一元二次方程式是指只含有一個未知數的平方方程式，其形式為：ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。
解法
解一元二次方程式，有以下幾種常見方法：
- 因式分解法：將二次項分解成兩個因式的乘積，再使用零因子性質求解。
- 配方法：將二次項改寫成一個完全平方項加上一個常數項，再求出未知數 x 的值。
- 公式解法：使用求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 來求解。
範例
解方程式：x² - 5x + 6 = 0
解法（因式分解法）：
(x - 2)(x - 3) = 0
x - 2 = 0 或 x - 3 = 0
x = 2 或 x = 3
指數與對數
指數
指數表示某個數被乘以自身的次數。例如，5³ 表示 5 乘以自身三次。
對數
對數是指以某個數為底，求出另一個數的指數。例如，log₅ 125 = 3 表示 5 的三次方等於 125。
對數性質
對數具有以下性質：
| 性質 | 公式 |
|---|---|
| 相乘性質 | logₐ (bc) = logₐ b + logₐ c |
| 相除性質 | logₐ (b/c) = logₐ b - logₐ c |
| 底數相同性質 | logₐ a = 1 |
| 指數相等性質 | logₐ b = logₐ c ⇔ b = c |
範例
求 log₂ 32 的值。
解法：
log₂ 32 = log₂ (2⁵)
= 5 log₂ 2
= 5 (1)
= 5
三角函數
定義
三角函數是一種以三角形邊長或角的比值為變數的函數，包括正弦函數（sin）、餘弦函數（cos）、正切函數（tan）等。
三角函數的性質
| 三角函數 | 定義 | 範圍 |
|---|---|---|
| 正弦函數 | sin θ = 對邊 / 斜邊 | [-1, 1] |
| 餘弦函數 | cos θ = 鄰邊 / 斜邊 | [-1, 1] |
| 正切函數 | tan θ = 對邊 / 鄰邊 | R |
三角函數的公式
| 公式 | 恆等式 |
|---|---|
| sin² θ + cos² θ = 1 | |
| tan θ = sin θ / cos θ | |
| sin (θ + π) = -sin θ | |
| cos (θ + π) = -cos θ |
範例
已知 sin θ = 1/2，求 cos θ 的值。
解法：
sin² θ + cos² θ = 1
(1/2)² + cos² θ = 1
cos² θ = 3/4
cos θ = ±√3/2
統計與機率
統計
統計是收集、整理和分析資料的科學。它可以幫助我們瞭解資料的趨勢、分布和變異性。
機率
機率表示某個事件發生的可能性。機率的範圍從 0（不可能發生）到 1（必定發生）。
統計與機率的應用
統計與機率在生活中有很多應用，例如：
- 民意調查
- 市場研究
- 品質控制
- 科學實驗
範例
某個抽獎活動共有 1000 張獎券，其中有 10 張中獎券。如果隨機抽取一張獎券，中獎的機率是多少？
解法：
中獎的機率 = 中獎券數量 / 總券數
= 10 / 1000
= 1/100
外部推薦連結
常見問題
Q：數學好難，怎麼辦？
A：數學需要循序漸進的學習。不懂的地方一定要請教老師或同學，不要害怕發問。
Q：數學公式好難背，有訣竅嗎？
A：理解公式的意義比死背更重要。試著從公式的推導過程理解它的概念，這樣才不容易忘記。
Q：數學考試好緊張，怎麼辦？
A：考前做好充分的準備，帶著自信上考場。考试时先写自己有把握的題目，最後再回頭處理比較難的題目。
Q：數學對未來有什麼用？
A：數學不僅是升學必考科目，更是一種重要的思考訓練。它可以幫助我們解決日常生活中的問題，培養邏輯思維能力。
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